Розвязування задач з параметрами

Тема: Розв’язування задач з параметрами

Мета:

-       Не лише передати учням знання про задачі з параметрами, а навчити здобувати ці знання самостійно, вміти застосовувати їх для розв'язання нових пізнавальних і практичних завдань;

-       Перевірити та закріпити на практиці теоретичні знання;

-       Забезпечити продуктивний зв'язок теорії та практики у процесі навчання;

-       Підвищувати інтерес учнів до вивчення математики;

-       Сприяти учневі у здобутті комунікативних навичок, тобто здатності працювати у різноманітних групах, виконуючи всілякі соціальні ролі (лідера, виконавця, посередника тощо);

-       Розширити  коло  спілкування дітей,  співробітництво з дітьми інших класів, сприйняття різних точок зору на одну проблему;

-       Прищепити учням уміння користуватися дослідницькими прийомами: збирати необхідну інформацію, вміти її аналізувати з різних точок зору, висувати різні гіпотези, уміти робити висновки;

-       Навчити учнів самостійно працювати з сайтами Інтернету, комп’ютерними текстовим редактором та редактором для створювання слайдів, комп’ютерними програмами, додатковою літературою;

-       Виховувати любов до історії села та України.

Схема оформлення проекту

І етап

Вибір напряму і формування назви проекту: Розв’язування задач з параметрами.

Визначають напрям і формують назву проекту всі члени колективу спільно, включаючи педагога та учнів.

Підпроекти (окремі напрями):

—        дослідження історії села та місцевого маєтку;

—        виробництво цукру та жому на Соколівському цукровому заводі;

—        сушка зерна на Соколівському елеваторі;

—        складання маршруту Варшава-Київ;

—        вміння цивілізовано вести диспути, бесіди, суперечки.

II етап

Написання проекту.

Розділи проекту:

1.    Визначення актуальності і необхідності проекту.

Актуальність проекту «Розв’язування задач з параметрами» полягає в тому, що учні вчаться розв’язувати більш складні завдання з математики, а саме завдання з математики. Завдання з буквами уже зустрічаються у 5 класі, коли, наприклад, вивчається сума а + в = с (кожна з даних букв має свою назву: 1 доданок, 2 доданок, сума). Підкладаючи замість букв, цифри, діти розуміють як підійти до розв’язку даного завдання. В старших класах вивчається лінійна функція (у = кх), обернена (у = к:х) і т.д., де параметрами стають більш сприймаючими. Старшокласник, який мав практику з розв’язування задач з параметрами, вміло здає іспити на зовнішньому незалежному оцінюванні до вступу у вищі навчальні заклади.

2. Мета і завдання проекту:

Навчити дітей базової та основної школи розв’язувати задачі з використанням параметрів; вміти користуватися математичною програмою Gran1, що створена для побудови графіків функції з різними параметрами; дослідити та знати історію рідного села та маєтку; дослідити виробництво цукру на цукровому заводі; проаналізувати роботу елеватора.

3.    Визначення етапів реалізації проекту:

	Що потрібно зробити перед початком проекту?	Хто це зробить або допоможе зробити?	Коли це слід зробити?
1	Придбати/позичити необхідні пристрої, (камера, фотоапарат, комп’ютер, сканер, проектор, тощо)	Вчитель	За місяць
2	Знайти та зібрати книги, диски, флешки, DVD/компакт-диски, що будуть використовуватись у нашому Проекті	Вчитель Учениця 10 класу Халтирко Валентина	За 2 тижні
3	Створити папку, вибрати до неї необхідні компоненти проекту (слайди, відео, малюнки, таблиці)	Вчитель Учень 10 класу Сапливий Ярослав	За тиждень
4	Провести додаткові заняття з колективом учнів різних класів щодо розв’язування задач з параметрами	Вчитель	За 2 тижні
5	Отримати допомогу від інших організацій (батьківської ради, колективу школи-інтернату, шкільної ради, колективу цукрового заводу, колективу елеватору, місцевих краєзнавців)	Адміністрація	За місяць
6	Призначити спеціальний урочистий вечір для  демонстрації закінчених учнівських робіт	Адміністрація	За тиждень
7	Розмістити статтю у шкільній газеті	Педагог організатор Учні 9 класу Капічон Валерія Хомяк Наталія	За 4 дні
8	Розіслати інформаційний бюлетень чи статтю, в якій розміщено інформацію про майбутній проект, батькам з проханням про допомогу	Учні 7 класу Ярова Юлія Хараїм Катерина	За місяць
9	Запросити краєзнавця Васильківського Олександра Валентиновича та місцевих старожилів для зустрічі з учасниками проекту	Учні 7 класу Ярова Юлія Хараїм Катерина	За 2 дні
10	Запросити директора школи, заступника директора з навчально-виховної роботи для ознайомлення з роботою учнів у проекті	Вчитель	За 3 дні
11	Перевірити адреси сайтів, які будуть використовувати учні.	Вчитель	За місяць
12	Переконатися, що учні попередньо мають відповідні навички роботи з комп’ютером, вміють користуватися математичною програмою „GRAN-1», роботи в PowerPoint та забезпечити можливості навчання тих, хто таких навичок не має	Вчитель	За місяць
	Що потрібно зробити протягом проекту?	Хто це зробить або допоможе зробити?	Коли це слід зробити?
1.	Ознайомити учнів з критеріями оцінювання їх роботи в проекті	Вчитель	На першому етапі
2.	Проглянути разом з учнями відібраний для проекту матеріал, надати рекомендації для подальшої роботи	Вчитель	На першому етапі
3.	Організувати самостійну роботу учнів в проекті	Вчитель	На першому етапі
4.	Обговорити з учнями майбутню форму подання результатів проекту	Вчитель	На першому етапі
5.	Запросити фахівців, батьків за кілька днів до того, як вони мають прийти до школи	Адміністрація	На першому етапі
6.	Зробити фотографії учнів за роботою	Учні-асистенти	Впродовж проекту
7.	Запросити директора школи, заступника директора з навчально-виховної роботи	Вчитель	На заключному етапі
8.	Призначити учнівські конференції, присвячені проекту	Учні 8 класу Загаєцький Олександр Запіченко Віталіна	На заключному етапі
9.	Оцінити учнівські проекти	Вчитель	На заключному етапі
10.	Провести оцінювання проекту в цілому, отримати відгуки про те, наскільки вдалим він був (ваші власні висновки, висновки учнів, батьків).	Адміністрація	На заключному етапі
	Що потрібно зробити по завершенні проекту?	Хто це зробить або допоможе зробити?	Коли це слід зробити?
1	Розіслати листи подяки краєзнавцям, місцевим старожилам, батькам, що допомогли у реалізації проекту своєю роботою та фінансуванням	Учні-асистенти	Впродовж трьох днів
2	Повернути обладнання, книги, приладдя	Вчитель	За тиждень
3	Включити результати цього проекту в наступні уроки математики	Вчитель	За місяць
4	Вручити нагороди та відзнаки учням	Адміністрація	За 6 місяців
5	Подумати про наступний проект, в якому можна ефективно застосувати комп’ютерні технології	Вчитель Учні 11 класу Паляниця Владислава Підручна Олеся	За 3 місяці

4. Механізм реалізації проекту.

Для успішного проведення проекту групі учнів та вчителю необхідно мати:

- Фотоапарат для зйомок сторичних місць села; взяти інтерв’ю у місцевих краєзнавців та працівників школи-інтернату (бувший маєток), старожилів села;

- інструменти для вимірювання розмірів альтанки, що знаходиться у парку відпочинку;

- атлас доріг Європи для складання маршруту Варшава-Київ;

- дані технолога та економіста цукрового заводу щодо виробництва цукру та жому;

- дані начальника зміни Соколівського елеватора щодо розмірів банки-циліндра, в якій просушується зерно;

- проектор, екран, комп’ютер для зображення слайдів, відео, фото, роботи математичної програми Gran1;

- вишита скатерка,  українські костюми, історичні книжки про Соколівку, маєток для оздоблення стола-виставки;

- папір для задачок-карток.

5. Очікувані результати:

- навчитися розв’язувати алгебраїчні та геометричні задачі з параметрами;

- розв’язувати задачі з параметрами на знаходження найбільшого чи найменшого значення;

- розв’язувати задачі з параметрами за допомоги розгляду функції та побудови її у математичній програмі і „GRAN-1”

6. Оцінка й самооцінка проекту.

 Оцінювання роботи учнів над проектом буде оцінено зразу після його завершення. Участь в оціненні приймуть самі учні, вчитель, адміністрація школи, вчителі-математики інших шкіл. Інформація про хід проекту буде подана у вигляді підсумкового уроку, де будуть використані історичні матеріали, розробки текстових задач різного рівня складності.

Результативністю є те, що учні є активними учасниками математичної гри «Кенгуру», математичної олімпіади «Олімпіус», творчих конкурсів, вони підбирають цікавий і змістовний матеріал під час проведення тижнів з математики; зростає якість навчання учнів, високі результати під здачі зовнішнього незалежного оцінювання.

Вчитель. На адресу нашого місцевого краєзнавця Васильківського Олександра Валентиновича, надійшов лист від Антоні Беліни-Бжозовського. Я хочу його зараз зачитати.

Drodzy mieszkańcy Sokolivka! W tym roku moja rodzina wydała książkę "Podolskie malarstwo", w którym opisuje tradycje, kultura i historia Podola. W tej książce jest mowa i o posiadłość moich przodków, który znajduje się w twojej miejscowości. Mnie obchodzi czym żyją mieszkańcy: szkoły, przedszkola, roślin, rolnicy.

Зачитаю переклад:

Шановні мешканці села Соколівка! В цьому році моя родина випустила книгу «Подільські писанки», в якій описані традиції, культура і історія Поділля. В цій книзі згадується і про маєток моїх предків, який знаходиться у вашому селі. Мене хвилює чим живуть соколівчани сьогодні: школи, садочки, завод, фермери. 

Нас, діти, краєзнавець Олександр Валентинович попросив дати відповіді на поставлені завдання. Але ми з вами математики, тому й відповідь надамо у вигляді задачок. Цілу осінь ми працювали на проектом «Задачі з параметрами», кожен клас мав своє завдання. Діти 7 класу підготовили презентацію про історію села Соколівка і родину Беліна-Бжозовських.

(На екрані демонструються слайди з історичними фото. Учениця проводить маленьку екскурсію з розповіддю про історію родини та села.)

Учениця 7 клас. Соколівку приблизно в 1795 році купив Фелікс Беліна-Бжозовський. З переходом у власність польського поміщика село розбудовується й заселяється. Маєток був типовою спорудою, стояв на прямокутному фундаменті, зі сторони двору виділявся портик з чотирма широко розставленими тосканськими колонами. З лівого боку був добудований ще один корпус у два поверхи без ознак стилю. Двір у порівнянні з багатством господаря був скромним, але родина Бжозовських любила жити саме в маєтку Соколівка (мали ще маєтки у Попелюхах, Одесі, Варшаві). Внутрішнє вбрання було оздоблене підлогою з паркету з кількох порід дерев, стіни, стелі прикрашали бронзовими або кришталевими люстрами. Були справжні меблі стилю ампір з червоного дерева та оздоблені слоновою кісткою. Пан володів цінною колекцією картин, більшою частиною яких були родові портрети. Будинок з усіх сторін оточував великий пейзажний англійський парк. Два ставки з’єднували арочні мости, серед дерев та кущів знаходились міфологічні статуї, альтанки, одна у вигляді китайського будиночка. В’їзд у маєток прикрашала потужна неготична брама. Також Бжозовські володіли манежем, де готували арабських коней-скакунів для показової верхової їзди. Був збудований цукровий завод, споруджено три двоповерхові житлові будинки для робітників цукрозаводу, для висококваліфікованих – добротні житла,  побудовано приміщення для управляючого (нині – середня школа), відкрито лікарню, богадільню для престарілих, функціонував банк. У 1974 році було 100 років від заснування цукрового заводу, на 100-річчя приїжджав спадкоємець Бжозовських. Його син Антоні Беліна-Бжозовський разом зі своє дружиною Євою випустили в Польщі книгу «Подільські писанки», в якій описується колекція писанок Поділля. Цю колекцію свого часу зберегла його бабуся. Антоні і Єва в жовтні цього року відвідали наше село маєток, презентували книгу, яка знаходиться на стенді.

Вчитель. Спасибі за такий цікавий екскурс. З минулого перейдемо до сьогоднішніх днів, бо перед нами була поставлена задача розповісти про сучасну Соколівку. Подавши матеріал у вигляду задач з параметрами, хочеться детальніше дізнатись, що це за тип задачі.

Учениця 7 клас. Рівняння або нерівність, які крім невідомих, містять числа, позначені буквами, називаються параметричними, а ці букви – параметрами.

Учениця на дошці наводить приклади рівняння з використанням параметра, одне на додавання, що при наданні параметру числа, отримаємо безліч різних рівнянь; друге на ділення, де при наданні параметру значення 0, отримаємо рівняння, що не має сенсу.

Будь-якому параметру, що міститься в рівнянні, можна надати деяке числове значення, результати тоді будуть набувати один із двох наступних випадків:

1.    Вийде рівняння, яке містить лише дані числа і невідомі (тобто без параметрів);

2.    Вийде умова, позбавлена сенсу.

У першому випадку значення параметру вважається допустимим, у другому – недопустимим.

Вирішити рівняння, що містить параметр, - це значить, для кожного допустимого значення параметра знайти безліч всіх значень даного рівняння.

Параметр від давньогрецького означає «відмірюю», «розмірюю», оскільки він дає можливість розв’язати одночасно «відмірну» кількість однотипних рівнянь.

Наприклад, у рівнянні лінійної функції у = кx + b величини к, b є параметрами, певні значення яких (к = к1, b = b1) виділяють одну пряму з множини всіх прямих, заданих цим рівнянням.

Учні 7 класу. Пропоную розглянути задачу. Маєток Бжозовських, альтанка і башта розташовані таким чином, що утворюють суміжні кути, градусна міра яких належать множині натуральних чисел. (На екрані малюнок до задачі).

 Нехай один із суміжних кутів в а разів більший від другого. Знайти при якому значенні а кут між вежею та маєтком буде наближатися до 30°.

Розв’язання:

Нехай один із кутів х°, тоді другий (ах)°. Складаємо рівняння:

х° + (ах)° = 180°,

х° = 180°:(1 + а)

Для аналізу розглянемо функцію у₁ = 180:(1 + а) та у₂ = х. Зараз розглянемо як це виглядає за допомоги програми Gran1, що створена для роботи з функціями та їх графіками. Створюємо об’єкти у₁ = х та у₂ = 180/(1+р1). Змінюючи значення р1, знаходимо таке значення х, що буде наближатися до 30°.

Відповідь: при а = 5

Учень 7 клас. Розглянемо функцію y = kx + b та дослідимо, як змінюється її графік в залежності від коефіцієнтів k та b .

Для цього в програмі „GRAN-1” створимо новий об’єкт з аналітичним виразом виду y =  p1* x + p2 на відрізку [- 50; 50] та побудуємо його графік. Змінюючи значення параметрів p1 та p2 , можна спостерігати за зміною кута нахилу прямої, її положенням відносно координатних осей.

Вчитель. Велике спасибі учням 7 класу за проведену велику роботу по наданню поняття параметра. Далі розглянемо як можна використовувати задачі з параметрами в інших класах.

Учні 8 класу. Шановний Антоні. До цих пір у парку відпочинку збереглася альтанка, в основі якої знаходиться круг, графіком якого є коло з центром в початком координат та радіусом R=а: х²+у²=а². Альтанка тримається на 6 колонах. Тінь від однієї з колон, кинута в різні частини дня, утворює прямий кут, графік якої описується за допомогою функції у + │х│ = а. В комплексі ці лінії утворюють систему: (на екрані малюнок)

 Треба визначити скільки розв’язків має система при додатному і від’ємному значенні а.

Розв’язання:

Щоб розв’язати за допомогою програми „GRAN-1”, треба розглянути функцію у₁ = а - │х│ та рівняння х² + у² = а². Створивши задані об’єкти, бачимо, що при додатному значенні а - 3 розв’язки, а при від’ємному – 1.

Відповідь: при а > 0 – 3 розв’язки, при а < 0 – 1 розв’язок.

Недавно ми на уроці алгебри вивчили обернену функцію. Розглянемо, як змінюється гіпербола із зміною параметра k за допомоги програми. Занесемо дані в програму.

у = р1/х

Змінюючи параметр р1, бачимо, що при додатному значенні гіпербола проходить через І і ІІІ чверть, а при від’ємному - через ІІ і IV.

Вчитель. Дякую вам, діти, за ваше дослідження. Прошу, наступна група проекту.

Учні 9 класу. Шановний Антоні живе за 30 кілометрів від Варшави. Він виявив велике бажання відвідати Поділля, а саме наше село. Для цього йому потрібно скористатися послугами залізниці. Відстань від Варшави до Києва 780 км. Перед відправкою поїзд затримали на 5 хв. Щоб прийти у призначений пункт за розкладом, машиніст збільшив швидкість поїзда на 10 км/год. Скільки годин він витратить на поїздку? (На екрані малюнок)

Розв’язання:

Малюнок до умови задачі:

А                                                                                В

                                    780 км

Задача на план-факт. Нехай швидкість поїзда х км/год (швидкість – величина додатна). Складаємо таблицю до умови задачі:

	υ, км/год	S, км	t, год
План	х	780	780/х
Фактично	х + 10	780	780/(х + 10)

Якщо ж шановний пан Бжозовський сяде на «Хюндай», то його шанси прибути до Києва різко збільшаться, а швидкість поїзда зросте в а разів. Пан Антоні хоче дізнатись, при якому значенні параметра а він дістанеться до Києва за 2,5 години. Таблиця до умови задачі буде виглядати так:

	υ, км/год	S, км	t, год
План	ах	780	780/ах
Фактично	ах + 10	780	780/(ах + 10)

5хв =  =  год

Складаємо дробово-раціональне рівняння:

 -  =  ,

ОДЗ:

Перенесемо праву частину рівняння, знайдемо спільний знаменник і зведемо подібні доданки.

 = 0

D = 100а² – 4а²·(-93600) = 347500а² ≈(612а)²

Х₁ =  = - 311/а – не відповідає умові задачі (а – значення додатне, так як виражає кількість).

Х₂ =  = 301/а – є ОДЗ.

Нам потрібно дізнатися за якої швидкості поїзда він прибуде через 2,5 год.

t =  і  t = 2,5, тому

 = 2,5

а = 1

Відповідь: при а = 1.

Вчитель. Спасибі вам, учні 9 класу, завдяки вашій праці ми можемо надати пораду, не змінювати потяги і вчасно приїхати до Києва. Цікаво подивитись на роботу учнів 10 класу.

Учні 10 класу. (На екрані перегляд слайдів). У 1874 році родиною Бжозовських було збудовано і запущено у виробництво цукроварню. Сьогодні вже 140 років від дня заснування цукрового заводу. Як він працює можна побачити на одному із прикладів технологічного процесу.

 Цукровий завод випускає цукор і жом. Варіння цукру в одному апараті займає 3 години (нехай це цех А) і 1 годину на центрифугах (цех В). Нарізання жому займає на різках 1 години у цеху А і висолоджують 2 години у цеху В. Апарат у цеху А може працювати не більше 148 годин на тиждень, а центрифуга цеху В не більше 130 години на тиждень. З цукру та жому підприємство отримує прибуток щотижня 14 млн. гривень та 130 тис. гривень відповідно. Цікаво, скільки потрібно варити цукру та продати жому кожного тижня, щоб забезпечити виробництву найбільший прибуток. Знайти цей прибуток. (На екрані – умова до задачі

Позначимо через х і у шукану кількість цукру та жому, а через F – прибуток виробництва. Тоді F(х,у) = 14000000х + 130000у.

При тому

                            

Побудуємо відповідні прямі на координатній площині.

Вісь ординат дана пряма, що пройде через точку О, перетне на 4710 920 000.

Тоді Fmax = 14 000 000 · 33,2 + 130 000 · 48,4 = 4 710 920 000.

Відповідь: кількість цукру - 33,2, кількість жому - 48,4 год;

найбільший прибуток - 4 710 920 000 грн.

Вчитель. Дуже дякую. Думаю, що вашу роботу можна показати технологам та економістам нашого заводу. Прошу, демонструйте свою підготовку 11 клас.

Учні 11 класу. Раніше для зберігання зерна використовувалися зерносховища.

 Зараз в нашому селі побудований елеватор, просушка і зберігання зерна відбувається у так званих банках циліндричної форми.

 Яким може бути найбільший об’єм такої банки-циліндра, утворений обертанням навколо більшої сторони прямокутника, периметр якого m. (На екрані малюнок)

Нехай ширина прямокутник KLMN х, тоді довжина  – х.

Отже, об’єм циліндру

V = S_осн · H

V = πх² ·

Проведемо дослідження цієї функції на найбільше значення при х є (0; :

f^´(х) = 2πx(  – x) – πx² = -πx(3x – m),

f´(х) = 0

-πx(3x – m) = 0

х₁ = 0, х₂ =

 _{х1 = 0 – не належить проміжку} (0; :

x₂ =  є (0;

х

f(х)

+

-

f´(х)

 

Тоді f_max = f ( ) =πm²/9 · (  - ) =

Відповідь: πm³/54

Вчитель. Велике спасибі і дітям 11 класу, які наочно побачили практичне застосування похідної.

Вчитель. Не дивлячись на те, що задачі з параметрами не часто використовуються у шкільні програмі, але дуже часто зустрічається у завданнях ЗНО. Тому потрібно звертати увагу учнів на розв’язування задач такого плану.